第6章 数学公开课
翌日，早自习之后。
班主任老周走了进来：“宣布一件事。
为了更好地备战高考，县教育局的领导特地邀请了琅琊一中的郭达老师，来咱们兰苍县讲授一节数学公开课。
郭达老师是全国教学名师，琅琊一中数学竞赛教练，去年他指导的学生崔东山入选了国集，保送燕京大学姚班。”
“什么是国集啊？”有学渣问道。
“国家集训队。”老周道，“全国中学生竞赛，知道吧？入选国集，就保送清北。”
“哇靠，牛逼。”
“和咱们有啥关係呢，我们是二本都考不上的学渣。”
……
“公开课在兰苍县大礼堂举行，全县七所中学，每所有一百个名额，分到咱们班的话是三个……”
老周继续道，“张凌光、李飞、齐物，你们三个下午1点去校门口乘坐大巴统一前往，其余人可以在教室里看现场直播！”
老周宣布名额之后，七班的学渣都是一愣。
张凌光和李飞都是全校前十，一本种子，入选很合理，但是齐物……
分明只是一个学渣啊。
他数学常年不及格。
凭什么入选？
“我靠，齐哥，你怎么入选了！”
同桌张伟惊讶道，“你和老周是亲戚吗？”
大概是因为我摸底考的成绩很惊人吧——
齐物笑了笑，没说话。
成绩公布的时候，你们自然就知道原因了。
————
下午1点，齐物和张凌光、李飞乘坐大巴前往县大礼堂，里面已经座无虚席。
大礼堂的后方架设著三台高清摄像机，將这台公开课全程在斗音直播。
以便没来现场的兰苍县中学生们可以观摩一下名师的讲座。
2点，公开课正式开始。
郭达看年纪五十五岁左右，穿著一件浅蓝色衬衫，戴著一个黑框眼镜，气质儒雅，他走上讲台，目光扫过全场：
“各位同学好，我是数学教师郭达。
今天的讲座，我想看看咱们兰苍县中学生的【数学直觉】。”
很多兰苍县的老师也在下面听著，心思一动：“这是来挑选人才来了？”
“我带过很多竞赛生，我发现普通学生和天才，最大的区別就是敏感度。比如说一个图形，天才能够在杂乱无章的线条中，一眼看出隱藏的几何关係。”
郭达继续道，“这就叫天赋。”
“想不想看看你有没有这种天赋？”
“我出一道经典的平面几何题，大家感受一下。”
大屏幕上很快浮现出一道题目：
【已知圆o中，弦pq的中点为m。过点m任作两条弦ab和cd。连接ad交pq於点x，连接bc交pq於点y。
求证：m为xy的中点。】
“这是著名的蝴蝶定理。”
郭达笑道，“普通高考不做要求，但是在竞赛中，经常作为复杂几何题的內核出现。现在，我给同学们十分钟时间，试著在草稿纸上找找证明思路。”
大礼堂內瞬间“嗡嗡”地开始討论，同学们开始沙沙地书写。
齐物坐在中间靠后的位置，只是看了一眼大屏幕上的题目，就迅速有了解法。
蝴蝶定理，典型的欧式平面几何题，用纯几何法，可以做，但是很繁琐、有漏洞；
最简单的是建立坐標系，用代数运算。
张凌光、李飞在旁边不停画辅助线，七八分钟了还是毫无头绪。
“角度和长度都没有，怎么证明中点？”
“我做不出来。”
“郭达这是来显摆的吧，咱们兰苍县连省二竞赛生都没有，谁tm能做出这种题？”
……
十分钟很快过去。
“看来同学们遇到了一些困难，没关係，这是正常的。”
郭达缓缓道，“古典几何的魅力，在於寻找隱藏在暗处的辅助线。”
他给出了艺术般的解题过程。
“过点x，分別向弦ab和cd做垂线，垂足为e和f。同理，过点y向ab和cd做垂线，垂足为g和h。”
四条红线在圆內交织，將原本就复杂的图形切割成了更加细碎的多边形。
齐物看到张凌光和李飞眉头紧皱，似乎不知道这四条垂线的意义所在。
“接下来，请大家仔细观察。”
郭达继续道，“因为是同弧所对的圆周角，所以∠a=∠c，∠b=∠d。由此可得到两组相似三角形：Δaxe∽Δcxf、Δbyg∽Δdyh。
可得，xe/xf=ax/cx，yg/yh=……”
“另一边，我们可以看出Δmxe和Δmyg都是直角三角形，且∠xme=∠ymg，所以Δmxe∽Δmyg。同理Δmxf∽Δmyh。
可得xe/yg=mx/my，xf/yh=mx/my。
两式相除，可得xe/xf=yg/yh。”
黑板上，已经被密密麻麻的Δ、角標和分数线填满。
“最后，我们將前面的比例式代入，运用相交弦定理ax·xd=cx·xb，最终化简后全部中间项消去，仅剩线段等量关係。
可证mx=my。
即m为xy的中点。”
礼堂內陷入短暂的寂静，而后响起掌声。
“我靠，这种辅助线我死也想不出来。”
“四组相似三角形强行破局，逻辑闭环！”
“拿这种题目到兰苍县来？郭老师你是不是对我们有什么误解？”
“报！二中学生没一个会的，都在玩手机！”
……
郭达看著下面同学的表情，对兰苍县教育水平的评价又下降了一个level。
都是惊嘆——
难道就没人看出这种证法的不妥吗？
“针对这道题，大家有什么想问的吗？”
郭达开始cue流程，“儘管畅所欲言。”
兰苍县的尖子生们大多都是衝击c9，很少接触竞赛题，所以对於这种题目毫无想法。
再说了，提问只是走过场罢了。
还真有愣头青提问啊？
郭达暗暗摇头，兰苍县的学生思维固化，看来今天是很难发现好苗子了——
就在他有些失望之际……
驀地，
他余光一闪，发现一只手举了起来。
嗯？
他连忙转头，发现在大礼堂中间靠后的位置，有一个男生举起了手。
看位置，不是一中的……
“那位同学，你有什么想问的吗？”
郭达一出口，所有人“刷刷刷”看向大礼堂右后方。
却见一个高高瘦瘦，穿著蓝白校服的清秀男生站了起来。
“我靠，齐物，你干啥呀！”
一旁的张凌光惊呆了，“你看得懂吗？就提问！”
“別瞎搞！”
李飞將头埋在凳子里，“你代表二中！”
工作人员很快地上话筒。
齐物其实也很犹豫要不要提问，但是自从得到《近现代科学家图鑑》之后，他仿佛化身真理的使者，看到错误不吐不快。
他接过话筒，平静道：“郭老师，我觉得，你的证法，並不完美。”
“从数学的严谨性角度来说，有些死板。而且——”
“我至少可以找到三个证据，证明你的证法，其实是错误的。”
班主任老周走了进来：“宣布一件事。
为了更好地备战高考，县教育局的领导特地邀请了琅琊一中的郭达老师，来咱们兰苍县讲授一节数学公开课。
郭达老师是全国教学名师，琅琊一中数学竞赛教练，去年他指导的学生崔东山入选了国集，保送燕京大学姚班。”
“什么是国集啊？”有学渣问道。
“国家集训队。”老周道，“全国中学生竞赛，知道吧？入选国集，就保送清北。”
“哇靠，牛逼。”
“和咱们有啥关係呢，我们是二本都考不上的学渣。”
……
“公开课在兰苍县大礼堂举行，全县七所中学，每所有一百个名额，分到咱们班的话是三个……”
老周继续道，“张凌光、李飞、齐物，你们三个下午1点去校门口乘坐大巴统一前往，其余人可以在教室里看现场直播！”
老周宣布名额之后，七班的学渣都是一愣。
张凌光和李飞都是全校前十，一本种子，入选很合理，但是齐物……
分明只是一个学渣啊。
他数学常年不及格。
凭什么入选？
“我靠，齐哥，你怎么入选了！”
同桌张伟惊讶道，“你和老周是亲戚吗？”
大概是因为我摸底考的成绩很惊人吧——
齐物笑了笑，没说话。
成绩公布的时候，你们自然就知道原因了。
————
下午1点，齐物和张凌光、李飞乘坐大巴前往县大礼堂，里面已经座无虚席。
大礼堂的后方架设著三台高清摄像机，將这台公开课全程在斗音直播。
以便没来现场的兰苍县中学生们可以观摩一下名师的讲座。
2点，公开课正式开始。
郭达看年纪五十五岁左右，穿著一件浅蓝色衬衫，戴著一个黑框眼镜，气质儒雅，他走上讲台，目光扫过全场：
“各位同学好，我是数学教师郭达。
今天的讲座，我想看看咱们兰苍县中学生的【数学直觉】。”
很多兰苍县的老师也在下面听著，心思一动：“这是来挑选人才来了？”
“我带过很多竞赛生，我发现普通学生和天才，最大的区別就是敏感度。比如说一个图形，天才能够在杂乱无章的线条中，一眼看出隱藏的几何关係。”
郭达继续道，“这就叫天赋。”
“想不想看看你有没有这种天赋？”
“我出一道经典的平面几何题，大家感受一下。”
大屏幕上很快浮现出一道题目：
【已知圆o中，弦pq的中点为m。过点m任作两条弦ab和cd。连接ad交pq於点x，连接bc交pq於点y。
求证：m为xy的中点。】
“这是著名的蝴蝶定理。”
郭达笑道，“普通高考不做要求，但是在竞赛中，经常作为复杂几何题的內核出现。现在，我给同学们十分钟时间，试著在草稿纸上找找证明思路。”
大礼堂內瞬间“嗡嗡”地开始討论，同学们开始沙沙地书写。
齐物坐在中间靠后的位置，只是看了一眼大屏幕上的题目，就迅速有了解法。
蝴蝶定理，典型的欧式平面几何题，用纯几何法，可以做，但是很繁琐、有漏洞；
最简单的是建立坐標系，用代数运算。
张凌光、李飞在旁边不停画辅助线，七八分钟了还是毫无头绪。
“角度和长度都没有，怎么证明中点？”
“我做不出来。”
“郭达这是来显摆的吧，咱们兰苍县连省二竞赛生都没有，谁tm能做出这种题？”
……
十分钟很快过去。
“看来同学们遇到了一些困难，没关係，这是正常的。”
郭达缓缓道，“古典几何的魅力，在於寻找隱藏在暗处的辅助线。”
他给出了艺术般的解题过程。
“过点x，分別向弦ab和cd做垂线，垂足为e和f。同理，过点y向ab和cd做垂线，垂足为g和h。”
四条红线在圆內交织，將原本就复杂的图形切割成了更加细碎的多边形。
齐物看到张凌光和李飞眉头紧皱，似乎不知道这四条垂线的意义所在。
“接下来，请大家仔细观察。”
郭达继续道，“因为是同弧所对的圆周角，所以∠a=∠c，∠b=∠d。由此可得到两组相似三角形：Δaxe∽Δcxf、Δbyg∽Δdyh。
可得，xe/xf=ax/cx，yg/yh=……”
“另一边，我们可以看出Δmxe和Δmyg都是直角三角形，且∠xme=∠ymg，所以Δmxe∽Δmyg。同理Δmxf∽Δmyh。
可得xe/yg=mx/my，xf/yh=mx/my。
两式相除，可得xe/xf=yg/yh。”
黑板上，已经被密密麻麻的Δ、角標和分数线填满。
“最后，我们將前面的比例式代入，运用相交弦定理ax·xd=cx·xb，最终化简后全部中间项消去，仅剩线段等量关係。
可证mx=my。
即m为xy的中点。”
礼堂內陷入短暂的寂静，而后响起掌声。
“我靠，这种辅助线我死也想不出来。”
“四组相似三角形强行破局，逻辑闭环！”
“拿这种题目到兰苍县来？郭老师你是不是对我们有什么误解？”
“报！二中学生没一个会的，都在玩手机！”
……
郭达看著下面同学的表情，对兰苍县教育水平的评价又下降了一个level。
都是惊嘆——
难道就没人看出这种证法的不妥吗？
“针对这道题，大家有什么想问的吗？”
郭达开始cue流程，“儘管畅所欲言。”
兰苍县的尖子生们大多都是衝击c9，很少接触竞赛题，所以对於这种题目毫无想法。
再说了，提问只是走过场罢了。
还真有愣头青提问啊？
郭达暗暗摇头，兰苍县的学生思维固化，看来今天是很难发现好苗子了——
就在他有些失望之际……
驀地，
他余光一闪，发现一只手举了起来。
嗯？
他连忙转头，发现在大礼堂中间靠后的位置，有一个男生举起了手。
看位置，不是一中的……
“那位同学，你有什么想问的吗？”
郭达一出口，所有人“刷刷刷”看向大礼堂右后方。
却见一个高高瘦瘦，穿著蓝白校服的清秀男生站了起来。
“我靠，齐物，你干啥呀！”
一旁的张凌光惊呆了，“你看得懂吗？就提问！”
“別瞎搞！”
李飞將头埋在凳子里，“你代表二中！”
工作人员很快地上话筒。
齐物其实也很犹豫要不要提问，但是自从得到《近现代科学家图鑑》之后，他仿佛化身真理的使者，看到错误不吐不快。
他接过话筒，平静道：“郭老师，我觉得，你的证法，並不完美。”
“从数学的严谨性角度来说，有些死板。而且——”
“我至少可以找到三个证据，证明你的证法，其实是错误的。”