第13章 好像也没有特別难？
屋內安静了下来，只有老妈魏淑华剁肉馅的声音。
齐物打开试卷，看向第一道题。
【1.已知椭圆 c: x2/a2+ y2/b2= 1(a>b>0)的左、右焦点分別为 f1，f2，点p在椭圆c上，且∠f?pf?=60°。若△f?pf?的面积为√3b2，则椭圆c的离心率e为？】
a. 1/2
b.√2/2
c.√3/2
d.√3/3
就这？
齐物愣了一下，也没有很难哦。
对於普通高三学生来说，这道题可能要设点p的坐標，联立椭圆方程，或者利用余弦定理和焦点三角形公式推导离心率e。
但是对於齐物来说——
“根据焦点三角形面积的万能公式s= b2tan(θ/2)，题目已知∠f?pf?=60°，那么面积s=b2 tan30°=√3/3 b2。”
“但题目给的面积是√3b2……等等，出题人在这里设了个陷阱？”
“有点意思。”
齐物已然看穿题目的本质：“不对，根本不需要算。
面积s的最大值是当点p在短轴顶点时取得，此时 smax=bc。要想让∠f?pf?=60°成立，且面积条件满足，直接利用余弦定理4c2=|pf?|2+|pf?|2-2|pf?||pf?|cos 60°，结合|pf?|+|pf?|=2a，知：c/a=√3/2。
选c。”
用时一分钟。
“题目是比兰苍二中的摸底考试卷质量高。”
齐物一边做一边评价，“不愧是省城，但是……好像也没有很难。”
齐物继续翻看，单选、多选没啥难度，来到了最后一道填空题：
【14.已知定义在 r上的函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当x∈[-1，1]时，f(x)+ f(x)> 0。若a=f(1)，b = ef(2)，c= e2f(3)，则 a，b，c的大小关係是？】
“经典的构造辅助函数题型。”
“看到 f(x)+f(x)> 0，必然构造 g(x)=e^x f(x)，求导得到g(x)=e^x [f(x)+f(x)]> 0，所以g(x)在[-1，1]上单调递增。”
“由f(x+2)=-f(x)可知，函数的周期t=4，且关於点(1，0)中心对称。”
“代入自变量，將b和c通过周期性和奇偶性转化到[-1，1]区间內进行比较……
f(2)=-f(0)，f(3)=-f(1)，直接得出c<b
<a。”
“不是很难啊。”
齐物没有被挑战的感觉。
齐鹏叔走的时候说，这套摸底考试卷，难度堪比高考真题——
难道我现在的水平已经三层楼那么高了吗？
三下五除二，齐物就推土机一样来到了最后一道压轴题。
【20.已知拋物线 e: y2=2px(p>0)的焦点为f，过点f且斜率不为零的直线l交拋物线e於a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴於点n。
（1）若△aob的外心在拋物线的准线上，求拋物线e的方程；
（2）在（1）的条件下，设点 m(m，0)，直线 ma与 mb分別交拋物线於c，d两点。证明：直线 cd过定点，並求出该定点坐標。】
“省城的卷子还是有些水平的，第二问考的是经典的极点极线模型变种。”
齐物转了转手中的笔。
传统的做法，是设直线方程，联立拋物线，得出韦达定理公式，然后进行繁琐的斜率相乘化简。
很容易在繁芜的代数运算中算错正负號。
齐物可不会用这么愚笨的方法。
“引入齐次坐標，在射影几何的视角下，拋物线y2= 2px可表示为二次型矩阵。”
“设点m为极点，那么它的极线方程就是直线cd。根据配极原则，过拋物线上两点a，b的直线l过焦点 f(p/2}， 0)，则交点弦cd必过与之对应的极点。”
“直接写出极点-极线的映射变换矩阵方程，代入点 m(m，0)的坐標。”
只用了短短三行公式，齐物就完成了普通学生需要写满一整页的证明过程，並在最后乾脆利落地写下：
“定点坐標为(-pm/2，0)。
q.e.d.”
伸了个懒腰，不知不觉就做完了一套卷子。
齐物看了看钟表——
才过去40分钟？
这就是鹏叔嘴里有些难的省城的卷子吗？
看样子鹏叔还要一会才能回来，齐物便想继续学学《黎曼几何》，恰在此时，目光一撇，看到鹏叔的电脑还亮著。
是个类似於pdf的页面，上面有很多数学公式？
齐物一下子来了兴致。
数学公式，好玩。
他凑过去，发现似乎是一篇——
论文？
“《中国科学：数学》在线审稿系统。”
鹏叔在审论文？
这还是齐物第一次接触论文，他好奇地看向待审论文的题目：
《一类卡拉比-丘三维流形上bridgeland稳定条件的存在性与模空间构造》
卡拉比-丘流形？
bridgeland稳定条件？
齐物现在是【代数几何3级】，他认识这些词汇。
现代代数几何与理论物理（弦理论）交叉的最前沿领域。
齐物滑动滑鼠，看得津津有味。
这篇论文的作者野心有点大，他试图在某个特定的卡拉比-丘三维流形x上，通过倾斜导范畴的心（heart），来构造一个全新的bridgeland稳定条件，並藉此研究稳定对象的模空间。
思路很华丽，也看了大量的文献，甚至用到了极为复杂的导出范畴同调代数。
但是，
当齐物翻看到第三节的【引理3.4】及其证明过程时，手指停住了。
这里没有齐鹏的批註，说明齐鹏觉得这一段没问题？
但是齐物觉得有些不对劲。
作者在引理3.4中，试图证明倾斜后的范畴a^w，b中的对象e满足广义的bogomolov-gieseker (bg)不等式。
这位作者给出的核心证明公式是：
△w(e)=1/2(w2)ch1(e)2-w2ch0(e)ch2(e)≥0
而且，作者利用这个不等式，直接推导出了中心电荷z(e)的虚部严格为正，从而宣称稳定条件构造成功。
“胡闹！”
齐物忍不住喊了一声。
“咋了小物？”
老妈魏淑华从厨房探出头来问道。
“哦，没事！”
齐物已然发现了证明里的错误，可以说很隱蔽。
鹏叔虽然优秀，但也只是一位青年学者，而且研究方向似乎不是代数几何。
如果缺乏对最新前沿理论的敏锐嗅觉，极容易被前面两页密密麻麻的同调代数推导给绕进去，从而默认这个经典不等式是成立的。
鹏叔很显然没看出这个错误。
“这位作者把代数曲面（二维）上的经典bg不等式，强行套用在了三维流形上。
在三维流形上，仅仅倾斜一次导范畴的心，根本无法保证二阶陈特徵ch2(e)的正定性！
作者完全忽略了极化类w变化时引发的壁越现象呀。”
这是这篇论文的致命伤。
“要让三维流形上的bg不等式成立，必须引入由 toda或bayer-macri提出的关於第三陈特徵ch3(e)的修正项！
如果没有ch3(e)的约束，范畴中的某些对象在穿过临界壁时，会瞬间失稳，导致整个模空间的拓扑结构发生坍缩！”
就好比建造一座大楼，用二维受力公式去模擬三维空间的抗震——
“一旦引理3.4的bg不等式失效，由它支撑的整个第三节的中心电荷构造就全是偽命题，后续第四节的所有模空间积分计算，全都是建立在空中楼阁上的数字游戏！”
齐物摇了摇头，论文作者怎么这么粗心呢？
齐物打开试卷，看向第一道题。
【1.已知椭圆 c: x2/a2+ y2/b2= 1(a>b>0)的左、右焦点分別为 f1，f2，点p在椭圆c上，且∠f?pf?=60°。若△f?pf?的面积为√3b2，则椭圆c的离心率e为？】
a. 1/2
b.√2/2
c.√3/2
d.√3/3
就这？
齐物愣了一下，也没有很难哦。
对於普通高三学生来说，这道题可能要设点p的坐標，联立椭圆方程，或者利用余弦定理和焦点三角形公式推导离心率e。
但是对於齐物来说——
“根据焦点三角形面积的万能公式s= b2tan(θ/2)，题目已知∠f?pf?=60°，那么面积s=b2 tan30°=√3/3 b2。”
“但题目给的面积是√3b2……等等，出题人在这里设了个陷阱？”
“有点意思。”
齐物已然看穿题目的本质：“不对，根本不需要算。
面积s的最大值是当点p在短轴顶点时取得，此时 smax=bc。要想让∠f?pf?=60°成立，且面积条件满足，直接利用余弦定理4c2=|pf?|2+|pf?|2-2|pf?||pf?|cos 60°，结合|pf?|+|pf?|=2a，知：c/a=√3/2。
选c。”
用时一分钟。
“题目是比兰苍二中的摸底考试卷质量高。”
齐物一边做一边评价，“不愧是省城，但是……好像也没有很难。”
齐物继续翻看，单选、多选没啥难度，来到了最后一道填空题：
【14.已知定义在 r上的函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当x∈[-1，1]时，f(x)+ f(x)> 0。若a=f(1)，b = ef(2)，c= e2f(3)，则 a，b，c的大小关係是？】
“经典的构造辅助函数题型。”
“看到 f(x)+f(x)> 0，必然构造 g(x)=e^x f(x)，求导得到g(x)=e^x [f(x)+f(x)]> 0，所以g(x)在[-1，1]上单调递增。”
“由f(x+2)=-f(x)可知，函数的周期t=4，且关於点(1，0)中心对称。”
“代入自变量，將b和c通过周期性和奇偶性转化到[-1，1]区间內进行比较……
f(2)=-f(0)，f(3)=-f(1)，直接得出c<b
<a。”
“不是很难啊。”
齐物没有被挑战的感觉。
齐鹏叔走的时候说，这套摸底考试卷，难度堪比高考真题——
难道我现在的水平已经三层楼那么高了吗？
三下五除二，齐物就推土机一样来到了最后一道压轴题。
【20.已知拋物线 e: y2=2px(p>0)的焦点为f，过点f且斜率不为零的直线l交拋物线e於a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴於点n。
（1）若△aob的外心在拋物线的准线上，求拋物线e的方程；
（2）在（1）的条件下，设点 m(m，0)，直线 ma与 mb分別交拋物线於c，d两点。证明：直线 cd过定点，並求出该定点坐標。】
“省城的卷子还是有些水平的，第二问考的是经典的极点极线模型变种。”
齐物转了转手中的笔。
传统的做法，是设直线方程，联立拋物线，得出韦达定理公式，然后进行繁琐的斜率相乘化简。
很容易在繁芜的代数运算中算错正负號。
齐物可不会用这么愚笨的方法。
“引入齐次坐標，在射影几何的视角下，拋物线y2= 2px可表示为二次型矩阵。”
“设点m为极点，那么它的极线方程就是直线cd。根据配极原则，过拋物线上两点a，b的直线l过焦点 f(p/2}， 0)，则交点弦cd必过与之对应的极点。”
“直接写出极点-极线的映射变换矩阵方程，代入点 m(m，0)的坐標。”
只用了短短三行公式，齐物就完成了普通学生需要写满一整页的证明过程，並在最后乾脆利落地写下：
“定点坐標为(-pm/2，0)。
q.e.d.”
伸了个懒腰，不知不觉就做完了一套卷子。
齐物看了看钟表——
才过去40分钟？
这就是鹏叔嘴里有些难的省城的卷子吗？
看样子鹏叔还要一会才能回来，齐物便想继续学学《黎曼几何》，恰在此时，目光一撇，看到鹏叔的电脑还亮著。
是个类似於pdf的页面，上面有很多数学公式？
齐物一下子来了兴致。
数学公式，好玩。
他凑过去，发现似乎是一篇——
论文？
“《中国科学：数学》在线审稿系统。”
鹏叔在审论文？
这还是齐物第一次接触论文，他好奇地看向待审论文的题目：
《一类卡拉比-丘三维流形上bridgeland稳定条件的存在性与模空间构造》
卡拉比-丘流形？
bridgeland稳定条件？
齐物现在是【代数几何3级】，他认识这些词汇。
现代代数几何与理论物理（弦理论）交叉的最前沿领域。
齐物滑动滑鼠，看得津津有味。
这篇论文的作者野心有点大，他试图在某个特定的卡拉比-丘三维流形x上，通过倾斜导范畴的心（heart），来构造一个全新的bridgeland稳定条件，並藉此研究稳定对象的模空间。
思路很华丽，也看了大量的文献，甚至用到了极为复杂的导出范畴同调代数。
但是，
当齐物翻看到第三节的【引理3.4】及其证明过程时，手指停住了。
这里没有齐鹏的批註，说明齐鹏觉得这一段没问题？
但是齐物觉得有些不对劲。
作者在引理3.4中，试图证明倾斜后的范畴a^w，b中的对象e满足广义的bogomolov-gieseker (bg)不等式。
这位作者给出的核心证明公式是：
△w(e)=1/2(w2)ch1(e)2-w2ch0(e)ch2(e)≥0
而且，作者利用这个不等式，直接推导出了中心电荷z(e)的虚部严格为正，从而宣称稳定条件构造成功。
“胡闹！”
齐物忍不住喊了一声。
“咋了小物？”
老妈魏淑华从厨房探出头来问道。
“哦，没事！”
齐物已然发现了证明里的错误，可以说很隱蔽。
鹏叔虽然优秀，但也只是一位青年学者，而且研究方向似乎不是代数几何。
如果缺乏对最新前沿理论的敏锐嗅觉，极容易被前面两页密密麻麻的同调代数推导给绕进去，从而默认这个经典不等式是成立的。
鹏叔很显然没看出这个错误。
“这位作者把代数曲面（二维）上的经典bg不等式，强行套用在了三维流形上。
在三维流形上，仅仅倾斜一次导范畴的心，根本无法保证二阶陈特徵ch2(e)的正定性！
作者完全忽略了极化类w变化时引发的壁越现象呀。”
这是这篇论文的致命伤。
“要让三维流形上的bg不等式成立，必须引入由 toda或bayer-macri提出的关於第三陈特徵ch3(e)的修正项！
如果没有ch3(e)的约束，范畴中的某些对象在穿过临界壁时，会瞬间失稳，导致整个模空间的拓扑结构发生坍缩！”
就好比建造一座大楼，用二维受力公式去模擬三维空间的抗震——
“一旦引理3.4的bg不等式失效，由它支撑的整个第三节的中心电荷构造就全是偽命题，后续第四节的所有模空间积分计算，全都是建立在空中楼阁上的数字游戏！”
齐物摇了摇头，论文作者怎么这么粗心呢？