第20章 超难的压轴题
齐物看向第一道选择题：
【题目1（选择题）：已知a，b均为n阶实对称正定矩阵，则下列关於矩阵跡（trace）的不等式中，恆成立的是？】
a. tr((ab)2)≤tr(a2b2)
b. tr((ab)2)≥tr(a2b2)
c. tr((ab)2)=tr(a2b2)
d.大小关係与矩阵的具体特徵值分布有关。
有点意思……
考察实对称正定矩阵、矩阵跡、乘积跡不等式，是《线性代数》的进阶內容。
看到矩阵的跡和乘积，很多人的第一反应可能是去凑低阶矩阵的特例来排除选项。
但齐物笔都没动，就选择了a。
“实对称正定矩阵，意味著存在正交矩阵可以將其对角化，並且可以开平方。
所谓求跡，本质上就是求內积空间中的柯西-施瓦茨不等式。”
齐物瞬间完成了代数结构的同构映射。
“令m=a^(1/2)ba^(1/2)，因为a，b正定，所以 m也是对称正定矩阵。
原不等式的左边tr((ab)2)=tr(abab)=tr(a^(1/2)ba^(1/2)a^(1/2)ba^(1/2))=tr(m2)。
原不等式的右边tr(a2b2)=tr(ab2a)=……不，更直接一点，將其看作frobenius內积。
根据矩阵的奇异值分解和范数性质，tr(x^t y)≤√tr(x^t x)√tr(y^t y)
代入特徵值基底，很明显，左边必定小於等於右边。”
“选a。”
用时2分30秒。
题目有难度，但是没那么难。
接著是第二题，考点是解析数论中的狄利克雷级数与黎曼zeta函数的零点区域放缩。
齐物快速写下两行阿贝尔求和公式，选出答案。
第三题，考察隨机微分方程（sde）在带跳跃的马尔可夫过程中的伊藤引理应用。
齐物心算了一下漂移项和扩散项的积分，得出结论。
每道题用时都在五分钟之內。
选择题几乎是摧枯拉朽般地被平推过去。
第22分钟，齐物就已经来到了第一道解答题。
【设p为一个奇素数。证明：在有限域fp上的多项式环fp[x]中，多项式f(x)=x^p2-x的所有不可约因子的度数要么是1，要么是2，要么是p。请给出这些因子的確切数量表达式。】
齐物微微挑眉。
解答题难度一下子就上来了哈。
一道非常標准的抽象代数与有限域伽罗瓦理论的题目。
很多人面对这道题，很容易绕到分裂域的嵌套里出不来。
齐物略微思考了两分钟，双手已经在键盘上飞速敲击，latex代码如行云流水般输入：
“根据有限域的性质，x^p2-x是有限域fp2中所有元素的根多项式。
因为fp2是fp的二次扩张，其子域只有fp本身。
因此，任何在fp上不可约且整除x^p2-x的多项式，其根必在fp2中。
这意味著该不可约多项式的度数d必须整除2，即d=1或d=2。
题目中描述的度数为p是一个典型的障眼法诱导项（因为度数必须整除扩张阶数2，奇素数p绝不可能是其度数，除非特指某种特徵不可分扩张的偽命题，但在本域下不成立）。
度数为1的因子对应fp中的元素，数量为p。
总度数为p2，因此度数为2的不可约多项式数量为(p2-p)/2。”
提交。
用时10分钟。
“阿力八八全球数学竞赛的题目果然涵盖现代数学的各个分支。”
齐物顺手解答了下一道带有一点群论色彩的代数数论题。
终於来到了最后一道压轴题。
此时总用时：40分钟。
当看清压轴题的题干时，齐物神色一紧，坐直了身子。
这道题……
【压轴题（本题40分）】
【背景描述：考虑一个定义在紧致黎曼流形m上的高维非凸能量泛函e(x)=∫m(‖▽x‖2+v(x)) dμ。在標准的梯度流动力系统?x/?t=-▽e(x)演化下，已知系统中存在一个庞大的退化临界子流形s?m，在该子流形s的邻域內，泛函的hessian矩阵▽2e在其法向丛上出现大量的零特徵值，且伴隨及其微弱的非凸扰动。
【问题：系统在演化至s附近时，会发生严重的“临界滯留”现象，且逃逸时间期望趋近於无穷大。请问，是否能在原梯度流方程中引入一个纯几何的“拓扑补偿项Ω(x)”，在不改变系统全局极小值点的前提下，使得修正后的动力系统方程：
?x/?t=-▽e(x)+Ω(x)
能够以流形內蕴曲率为驱动，以指数速率逃逸该退化子流形s？若存在，请给出Ω(x)的严密解析构造，並证明其逃逸收敛性。若不存在，请说明理由。】
emmm……
这道题不对劲。
太难了！
以齐物的修为，竟然也读了两遍题目才读懂。
涉及的知识点太多了。
紧致黎曼流形、sobolev空间、能量泛函分析、弱导数、梯度流、morse理论破缺、退化临界子流形、hessian算子、法丛、临界滯留、拓扑项的几何意义、lyapunov稳定性、指数收敛速率估计、泛函能量估计……
这完全不是预赛应该出现的题目！
据齐物所知，阿力八八全球数学竞赛的预赛，一般只考本科基础的线代、数论、组合、初等概率等，绝对不会涉及流形、梯度流和退化临界这种知识点。
而这道题，无论是深度和广度，都应该是属於决赛中，几何拓扑和分析与方程的压轴题。
几乎相当於顶级985数学系博士的复试加试题了。
阿力是疯了吗？
拿这种题来当预赛压轴题？
不过刚刚学完黎曼几何的齐物觉得自己可以挑战一下。
他最喜欢做难题了。
他再次精读了一遍题目。
这一次他发现了一丝不寻常的地方。
“乍一看，这是一道硬核的微分几何与偏微分方程（pde）交叉的纯数学题，但是描述的是物理图景？”
齐物忖思，“属於计算机科学，貌似是超大规模人工神经网络在进行梯度训练时，陷入的多维鞍点的死锁现象？”
齐物很快察觉到违和感。
“出题人为何要特意强调【极高维】？”
齐物在草稿纸上写下了一个m，並画了一个圈，“在纯粹的几何拓扑里，维度的具体数值往往並不决定方程的定性行为，除非——”
齐物心思一转：“除非这个维度本身，具有现实的物理意义。”
阿力八八不会无缘无故出这么一道超纲的题。
他再次看向题干，开始抽丝剥茧。
【如果把黎曼流形m上的坐標点x视为一个参数矩阵w，那么，“极高维”的流形空间，其实是一个包含了千亿乃至万亿个权重的网络参数空间？】
【能量泛函e(x)，非凸性质……在参数空间里，非凸的能量评价標准是什么？】
【loss（损失）函数！】
【动力系统?x/?t，不就是连续时间下的梯度下降算法？】
齐物笔尖猛地停住，这题目，影射的是ai大语言模型在训练过程中，最难解决的梯度消失和loss停滯现象！
他有些明白了——
阿力八八是在ai大模型的开发中遇到了问题，然后把问题转换成了数学难题，穿上代数几何以及微分拓扑的马甲，脱敏之后放在预赛压轴？
希望全球的参赛者能给予他们破局的灵感！
【题目1（选择题）：已知a，b均为n阶实对称正定矩阵，则下列关於矩阵跡（trace）的不等式中，恆成立的是？】
a. tr((ab)2)≤tr(a2b2)
b. tr((ab)2)≥tr(a2b2)
c. tr((ab)2)=tr(a2b2)
d.大小关係与矩阵的具体特徵值分布有关。
有点意思……
考察实对称正定矩阵、矩阵跡、乘积跡不等式，是《线性代数》的进阶內容。
看到矩阵的跡和乘积，很多人的第一反应可能是去凑低阶矩阵的特例来排除选项。
但齐物笔都没动，就选择了a。
“实对称正定矩阵，意味著存在正交矩阵可以將其对角化，並且可以开平方。
所谓求跡，本质上就是求內积空间中的柯西-施瓦茨不等式。”
齐物瞬间完成了代数结构的同构映射。
“令m=a^(1/2)ba^(1/2)，因为a，b正定，所以 m也是对称正定矩阵。
原不等式的左边tr((ab)2)=tr(abab)=tr(a^(1/2)ba^(1/2)a^(1/2)ba^(1/2))=tr(m2)。
原不等式的右边tr(a2b2)=tr(ab2a)=……不，更直接一点，將其看作frobenius內积。
根据矩阵的奇异值分解和范数性质，tr(x^t y)≤√tr(x^t x)√tr(y^t y)
代入特徵值基底，很明显，左边必定小於等於右边。”
“选a。”
用时2分30秒。
题目有难度，但是没那么难。
接著是第二题，考点是解析数论中的狄利克雷级数与黎曼zeta函数的零点区域放缩。
齐物快速写下两行阿贝尔求和公式，选出答案。
第三题，考察隨机微分方程（sde）在带跳跃的马尔可夫过程中的伊藤引理应用。
齐物心算了一下漂移项和扩散项的积分，得出结论。
每道题用时都在五分钟之內。
选择题几乎是摧枯拉朽般地被平推过去。
第22分钟，齐物就已经来到了第一道解答题。
【设p为一个奇素数。证明：在有限域fp上的多项式环fp[x]中，多项式f(x)=x^p2-x的所有不可约因子的度数要么是1，要么是2，要么是p。请给出这些因子的確切数量表达式。】
齐物微微挑眉。
解答题难度一下子就上来了哈。
一道非常標准的抽象代数与有限域伽罗瓦理论的题目。
很多人面对这道题，很容易绕到分裂域的嵌套里出不来。
齐物略微思考了两分钟，双手已经在键盘上飞速敲击，latex代码如行云流水般输入：
“根据有限域的性质，x^p2-x是有限域fp2中所有元素的根多项式。
因为fp2是fp的二次扩张，其子域只有fp本身。
因此，任何在fp上不可约且整除x^p2-x的多项式，其根必在fp2中。
这意味著该不可约多项式的度数d必须整除2，即d=1或d=2。
题目中描述的度数为p是一个典型的障眼法诱导项（因为度数必须整除扩张阶数2，奇素数p绝不可能是其度数，除非特指某种特徵不可分扩张的偽命题，但在本域下不成立）。
度数为1的因子对应fp中的元素，数量为p。
总度数为p2，因此度数为2的不可约多项式数量为(p2-p)/2。”
提交。
用时10分钟。
“阿力八八全球数学竞赛的题目果然涵盖现代数学的各个分支。”
齐物顺手解答了下一道带有一点群论色彩的代数数论题。
终於来到了最后一道压轴题。
此时总用时：40分钟。
当看清压轴题的题干时，齐物神色一紧，坐直了身子。
这道题……
【压轴题（本题40分）】
【背景描述：考虑一个定义在紧致黎曼流形m上的高维非凸能量泛函e(x)=∫m(‖▽x‖2+v(x)) dμ。在標准的梯度流动力系统?x/?t=-▽e(x)演化下，已知系统中存在一个庞大的退化临界子流形s?m，在该子流形s的邻域內，泛函的hessian矩阵▽2e在其法向丛上出现大量的零特徵值，且伴隨及其微弱的非凸扰动。
【问题：系统在演化至s附近时，会发生严重的“临界滯留”现象，且逃逸时间期望趋近於无穷大。请问，是否能在原梯度流方程中引入一个纯几何的“拓扑补偿项Ω(x)”，在不改变系统全局极小值点的前提下，使得修正后的动力系统方程：
?x/?t=-▽e(x)+Ω(x)
能够以流形內蕴曲率为驱动，以指数速率逃逸该退化子流形s？若存在，请给出Ω(x)的严密解析构造，並证明其逃逸收敛性。若不存在，请说明理由。】
emmm……
这道题不对劲。
太难了！
以齐物的修为，竟然也读了两遍题目才读懂。
涉及的知识点太多了。
紧致黎曼流形、sobolev空间、能量泛函分析、弱导数、梯度流、morse理论破缺、退化临界子流形、hessian算子、法丛、临界滯留、拓扑项的几何意义、lyapunov稳定性、指数收敛速率估计、泛函能量估计……
这完全不是预赛应该出现的题目！
据齐物所知，阿力八八全球数学竞赛的预赛，一般只考本科基础的线代、数论、组合、初等概率等，绝对不会涉及流形、梯度流和退化临界这种知识点。
而这道题，无论是深度和广度，都应该是属於决赛中，几何拓扑和分析与方程的压轴题。
几乎相当於顶级985数学系博士的复试加试题了。
阿力是疯了吗？
拿这种题来当预赛压轴题？
不过刚刚学完黎曼几何的齐物觉得自己可以挑战一下。
他最喜欢做难题了。
他再次精读了一遍题目。
这一次他发现了一丝不寻常的地方。
“乍一看，这是一道硬核的微分几何与偏微分方程（pde）交叉的纯数学题，但是描述的是物理图景？”
齐物忖思，“属於计算机科学，貌似是超大规模人工神经网络在进行梯度训练时，陷入的多维鞍点的死锁现象？”
齐物很快察觉到违和感。
“出题人为何要特意强调【极高维】？”
齐物在草稿纸上写下了一个m，並画了一个圈，“在纯粹的几何拓扑里，维度的具体数值往往並不决定方程的定性行为，除非——”
齐物心思一转：“除非这个维度本身，具有现实的物理意义。”
阿力八八不会无缘无故出这么一道超纲的题。
他再次看向题干，开始抽丝剥茧。
【如果把黎曼流形m上的坐標点x视为一个参数矩阵w，那么，“极高维”的流形空间，其实是一个包含了千亿乃至万亿个权重的网络参数空间？】
【能量泛函e(x)，非凸性质……在参数空间里，非凸的能量评价標准是什么？】
【loss（损失）函数！】
【动力系统?x/?t，不就是连续时间下的梯度下降算法？】
齐物笔尖猛地停住，这题目，影射的是ai大语言模型在训练过程中，最难解决的梯度消失和loss停滯现象！
他有些明白了——
阿力八八是在ai大模型的开发中遇到了问题，然后把问题转换成了数学难题，穿上代数几何以及微分拓扑的马甲，脱敏之后放在预赛压轴？
希望全球的参赛者能给予他们破局的灵感！