第24章 微积分创立元年
17世纪的英国，一如既往地阴冷潮湿。
齐物醒来时，发现自己正躺在一个杂乱无章的书房里。
1666年的伍尔索普庄园里，暴风雪正在肆虐。
他看到，昏黄的灯光下，牛顿正趴在一张巨大的橡木桌前，头髮乱得像个鸟窝，双眼熬得通红。
他的脚边，散落著一地的、画满图形的草稿纸。
“该死的欧几里得，欺骗了我们！静態的几何是死的……宇宙是活的……”
牛顿嘴里念念有词地像个神经病。
“艾萨克。”
齐物起身走上前，隨手捡起地上一张画著內接多边形的图纸，“都17世纪了，怎么还能用古希腊时代的穷竭法，研究连续变化的宇宙呢？
这无异於用石斧雕刻钻石。”
“齐，噢，天吶，我的朋友，你终於来了！”
牛顿猛地跳起来，狠狠拥抱齐物，“你上次在苹果树下告诉我的引力模型太完美了！
但是我证明不了！
我没办法计算一个连续变化曲线上的瞬时变化率，你懂吗？
瞬时！
我也没办法把无限个无限小的量求和。”
齐物拍了拍牛顿的肩膀，捡起一张乾净的纸，拿起鹅毛笔，笑道：“艾萨克，你需要一种全新的工具，一种能计算『连续变化』的数学工具！
既然传统的欧几里得几何走不通，我们就拋弃静態，引入时间和流动的概念。”
牛顿陷入思考。
齐物在纸上画了一条平滑的曲线。
“把变量看作是隨时间流动的量。你可以叫他流变量，比如x、y，而他们流动的速度，或者说变化率，你可以叫它流数。可以用x˙、y˙表示。”（注1）
牛顿眼睛陡然睁大，他的数学直觉在这一刻充分爆发，只需要齐物稍微点拨，他就明白了大概：“流动的量……变化率！对，这才是符合宇宙规则的，宇宙中的一切都在流动！”
“艾萨克，你说得对。”
“假设有一个极小极小的时间增量，我们叫它o。”
齐物继续在曲线上取了两个紧邻的点，“在这段无限小的时间o里，变量x变成了x+x˙o，变量y变成了y+y˙o。”
然后他在纸上写了一个公式：
y=x^n。
“把增量代入，展开它，艾萨克。”
牛顿抢过鹅毛笔，迫不及待地开始推导：
y+y˙o=(x+x˙o)^n
利用二项式展开，可得
y+y˙o=x^n+nx^n-1(x˙o)+n(n-1)x^n-2(x˙o)2/2+……
因为y=x^n，两边消去，接下来两边同时除以极小时间o，可得
y˙=nx^n-1x˙+n(n-1)x^n-2(x˙)2o/2+……
“因为o是个无限趋於零的无穷小量，所以所有含有o的项，都可以近似地为零，直接抹去！”
牛顿兴奋地喊道，“所以我们可以得到……”
y˙/x˙=nx^n-1
这是足以改变人类文明进程的公式。
“这就是瞬时变化率，曲线的切线斜率。”
牛顿手舞足蹈地仰天长啸，“这样的话，我就不用画几万个三角形了，只需要这一个代数规则，就能瞬间求出任何曲线的瞬时速度！
亲爱的齐，你简直是太棒了！”
“开心得太早了，艾萨克。”
齐物道，“这只是一半哦。”
他拿起鹅毛笔，在纸的反面画了一个坐標系以及一条曲线下面的阴影面积。
“你刚才找到了求解瞬时变化率的方法，也就是微分，但是你还面临另一个问题：怎么把无限小的量加起来求和？我们可以称之为积分。”
牛顿停下庆祝，喃喃道：“切线是求变化率，面积是求积累量，这是两个完全相反的运算呢。”
“看似相反，但是——”
齐物在切线和面积之间画了一个双向箭头，“从另一个角度来看，求面积，不就是求切线的逆运算吗？”
一道闪电劈入脑海。
“上帝啊……”
牛顿瘫坐在藤椅上，在此刻他完成了人类歷史上最伟大的【顿悟】。
“求变化率和求累积量，是互逆的？也就是说，只要我求出一个函数的反导数，我就能不费吹灰之力地计算出任何不规则图形的面积！”
“天吶！齐，你的数学天赋简直让人嘆为观止！这个数学工具我命名为流数术，我觉得这是解开宇宙运转规律的钥匙！”
“有了它，別说是苹果，就算是彗星的轨道，我也能算得清清楚楚！”
牛顿癲狂的模样开始扭曲淡化、逐步消散。
叮！
齐物的脑海中响起清脆的提示音。
【你指导牛顿创立了流数术（微积分），赋予了人类解析连续运动的数学工具，完成了科学史的史诗级跨越式发展。】
【你获得艾萨卡牛顿的智慧馈赠】
【微积分本源探析+3：您的微积分与分析学知识体系水平达到3级（教授级），不仅精通现代微积分，更能洞悉实分析、复分析与泛函分析的底层同源架构。】
【盲盒碎片（进度2/7）。】
齐物缓缓睁开眼睛，发现外界的时间刚过去一节课。
他感受著大脑里涌入的磅礴分析学知识。
“牛爵爷的羊毛果然丰厚。”
就是不知道这个盲盒最后能开出什么呢？
现在他的代数几何微积分都到了3级，可以说，在兰苍县可以横著走了。
“齐物！”
就在这时，讲台上响起喊声。
齐物抬起头，看清楚老师后，暗暗咂舌，完蛋了——
是语文课。
“一节课四十分钟，你睡了三十五分钟了，总算是醒了。”
高三七班的语文老师是个五十岁的小老太王甜甜，同学们称之为王姐。
“这次摸底考你数理进步很大，但是语文也不能落下啊！”
王姐谆谆教导，“高考是3+3，木桶效应！拿出你学数学的那个劲，提提语文的分行不行啊。”
“如果你语文提30分，英语提30分，你算算这是多少分了？”
“672分！你能上985！”
王姐走下讲台，越看齐物越觉得可惜，怎么能这么偏科呢？
“拿出你的摸底考试卷，看看这道古诗词鑑赏，苏軾的《定风波》！
题目问词人雨中独行体现了怎样的人生態度，这题难吗？妥妥的基础送分题！”
王姐拿起齐物的卷子看了看，“嘖嘖嘖，齐物啊齐物，你那聪明的小脑袋能记住那么复杂的公式，怎么就记不住得分点呢？”
“我说过是多少次了？看见苏軾你就写豁达乐观、宠辱不惊，你看看你写的啥？”
“苏軾淋雨不躲，纯属故意装酷耍帅，喜欢凹人设？”
“还有张伟，你居然能解读成苏軾心情不好，故意淋雨发泄情绪，跟现代人淋雨emo一模一样？”
“我真要被你们气死了！”
齐物很头疼。
面对阅读理解，他这没办法，他觉得这玩意纯属臆测。
不像数学，1就是1，永远变不成0。
————
注1：这是歷史上牛顿最初创立微积分时使用的流数术记號，不同於莱布尼茨的dx/dy。
齐物醒来时，发现自己正躺在一个杂乱无章的书房里。
1666年的伍尔索普庄园里，暴风雪正在肆虐。
他看到，昏黄的灯光下，牛顿正趴在一张巨大的橡木桌前，头髮乱得像个鸟窝，双眼熬得通红。
他的脚边，散落著一地的、画满图形的草稿纸。
“该死的欧几里得，欺骗了我们！静態的几何是死的……宇宙是活的……”
牛顿嘴里念念有词地像个神经病。
“艾萨克。”
齐物起身走上前，隨手捡起地上一张画著內接多边形的图纸，“都17世纪了，怎么还能用古希腊时代的穷竭法，研究连续变化的宇宙呢？
这无异於用石斧雕刻钻石。”
“齐，噢，天吶，我的朋友，你终於来了！”
牛顿猛地跳起来，狠狠拥抱齐物，“你上次在苹果树下告诉我的引力模型太完美了！
但是我证明不了！
我没办法计算一个连续变化曲线上的瞬时变化率，你懂吗？
瞬时！
我也没办法把无限个无限小的量求和。”
齐物拍了拍牛顿的肩膀，捡起一张乾净的纸，拿起鹅毛笔，笑道：“艾萨克，你需要一种全新的工具，一种能计算『连续变化』的数学工具！
既然传统的欧几里得几何走不通，我们就拋弃静態，引入时间和流动的概念。”
牛顿陷入思考。
齐物在纸上画了一条平滑的曲线。
“把变量看作是隨时间流动的量。你可以叫他流变量，比如x、y，而他们流动的速度，或者说变化率，你可以叫它流数。可以用x˙、y˙表示。”（注1）
牛顿眼睛陡然睁大，他的数学直觉在这一刻充分爆发，只需要齐物稍微点拨，他就明白了大概：“流动的量……变化率！对，这才是符合宇宙规则的，宇宙中的一切都在流动！”
“艾萨克，你说得对。”
“假设有一个极小极小的时间增量，我们叫它o。”
齐物继续在曲线上取了两个紧邻的点，“在这段无限小的时间o里，变量x变成了x+x˙o，变量y变成了y+y˙o。”
然后他在纸上写了一个公式：
y=x^n。
“把增量代入，展开它，艾萨克。”
牛顿抢过鹅毛笔，迫不及待地开始推导：
y+y˙o=(x+x˙o)^n
利用二项式展开，可得
y+y˙o=x^n+nx^n-1(x˙o)+n(n-1)x^n-2(x˙o)2/2+……
因为y=x^n，两边消去，接下来两边同时除以极小时间o，可得
y˙=nx^n-1x˙+n(n-1)x^n-2(x˙)2o/2+……
“因为o是个无限趋於零的无穷小量，所以所有含有o的项，都可以近似地为零，直接抹去！”
牛顿兴奋地喊道，“所以我们可以得到……”
y˙/x˙=nx^n-1
这是足以改变人类文明进程的公式。
“这就是瞬时变化率，曲线的切线斜率。”
牛顿手舞足蹈地仰天长啸，“这样的话，我就不用画几万个三角形了，只需要这一个代数规则，就能瞬间求出任何曲线的瞬时速度！
亲爱的齐，你简直是太棒了！”
“开心得太早了，艾萨克。”
齐物道，“这只是一半哦。”
他拿起鹅毛笔，在纸的反面画了一个坐標系以及一条曲线下面的阴影面积。
“你刚才找到了求解瞬时变化率的方法，也就是微分，但是你还面临另一个问题：怎么把无限小的量加起来求和？我们可以称之为积分。”
牛顿停下庆祝，喃喃道：“切线是求变化率，面积是求积累量，这是两个完全相反的运算呢。”
“看似相反，但是——”
齐物在切线和面积之间画了一个双向箭头，“从另一个角度来看，求面积，不就是求切线的逆运算吗？”
一道闪电劈入脑海。
“上帝啊……”
牛顿瘫坐在藤椅上，在此刻他完成了人类歷史上最伟大的【顿悟】。
“求变化率和求累积量，是互逆的？也就是说，只要我求出一个函数的反导数，我就能不费吹灰之力地计算出任何不规则图形的面积！”
“天吶！齐，你的数学天赋简直让人嘆为观止！这个数学工具我命名为流数术，我觉得这是解开宇宙运转规律的钥匙！”
“有了它，別说是苹果，就算是彗星的轨道，我也能算得清清楚楚！”
牛顿癲狂的模样开始扭曲淡化、逐步消散。
叮！
齐物的脑海中响起清脆的提示音。
【你指导牛顿创立了流数术（微积分），赋予了人类解析连续运动的数学工具，完成了科学史的史诗级跨越式发展。】
【你获得艾萨卡牛顿的智慧馈赠】
【微积分本源探析+3：您的微积分与分析学知识体系水平达到3级（教授级），不仅精通现代微积分，更能洞悉实分析、复分析与泛函分析的底层同源架构。】
【盲盒碎片（进度2/7）。】
齐物缓缓睁开眼睛，发现外界的时间刚过去一节课。
他感受著大脑里涌入的磅礴分析学知识。
“牛爵爷的羊毛果然丰厚。”
就是不知道这个盲盒最后能开出什么呢？
现在他的代数几何微积分都到了3级，可以说，在兰苍县可以横著走了。
“齐物！”
就在这时，讲台上响起喊声。
齐物抬起头，看清楚老师后，暗暗咂舌，完蛋了——
是语文课。
“一节课四十分钟，你睡了三十五分钟了，总算是醒了。”
高三七班的语文老师是个五十岁的小老太王甜甜，同学们称之为王姐。
“这次摸底考你数理进步很大，但是语文也不能落下啊！”
王姐谆谆教导，“高考是3+3，木桶效应！拿出你学数学的那个劲，提提语文的分行不行啊。”
“如果你语文提30分，英语提30分，你算算这是多少分了？”
“672分！你能上985！”
王姐走下讲台，越看齐物越觉得可惜，怎么能这么偏科呢？
“拿出你的摸底考试卷，看看这道古诗词鑑赏，苏軾的《定风波》！
题目问词人雨中独行体现了怎样的人生態度，这题难吗？妥妥的基础送分题！”
王姐拿起齐物的卷子看了看，“嘖嘖嘖，齐物啊齐物，你那聪明的小脑袋能记住那么复杂的公式，怎么就记不住得分点呢？”
“我说过是多少次了？看见苏軾你就写豁达乐观、宠辱不惊，你看看你写的啥？”
“苏軾淋雨不躲，纯属故意装酷耍帅，喜欢凹人设？”
“还有张伟，你居然能解读成苏軾心情不好，故意淋雨发泄情绪，跟现代人淋雨emo一模一样？”
“我真要被你们气死了！”
齐物很头疼。
面对阅读理解，他这没办法，他觉得这玩意纯属臆测。
不像数学，1就是1，永远变不成0。
————
注1：这是歷史上牛顿最初创立微积分时使用的流数术记號，不同於莱布尼茨的dx/dy。